Los quinientos dólares de Paul Erdős

Hacia 1995, un anciano de ochenta y dos años decide subir la apuesta. El problema que planteó en 1946 lleva medio siglo resistiéndose. Había prometido trescientos dólares a quien lo resolviera. Sube el premio a quinientos. Es su manera de decir algo sencillo: creo tanto que tengo razón que pago para que me demuestren lo contrario.

Paul Erdős muere al año siguiente. Nadie ha reclamado el dinero. Muere convencido de haber acertado.

Estaba equivocado. Lo sabemos desde el mes pasado. Y quien lo demostró no es un matemático.

El hombre que pagaba por sus preguntas

Erdős es un personaje singular en la historia de la ciencia. Húngaro, nacido en 1913, pasó la vida sin casa, sin puesto fijo, sin poseer casi nada, viajando de universidad en universidad con una maleta, durmiendo en casa de unos y otros, viviendo solo para las matemáticas. Planteó cerca de mil quinientos problemas. A muchos les asignaba una suma de dinero, y la cantidad expresaba la dificultad. Unos pocos dólares para un problema asequible, varios cientos para los que se burlaban de él.

Pagaba de verdad. Un día, de camino en coche a una ciudad de Georgia, un colega le menciona un teorema que acaba de demostrar. Erdős le pregunta si no había ofrecido un premio por él. Los dos se desvían a la biblioteca para comprobarlo. El premio existía: cien dólares. Erdős pagó. Un trayecto en taxi un poco caro, le hicieron notar. Le pareció muy divertido.

El problema de quinientos dólares del que les hablo tiene un nombre austero: el problema de las distancias unitarias. Sin embargo, se puede explicar en una esquina de la mesa.

El problema en una hoja

Pongan puntos en una hoja. Cuenten las parejas de puntos separadas exactamente por la misma distancia, digamos un centímetro.

Dos puntos, una pareja. Un triángulo equilátero, tres parejas. Añaden puntos y buscan la mejor disposición, la que produce el mayor número de parejas a exactamente un centímetro.

La pregunta de Erdős cabe en una frase. Cuando los puntos se cuentan por millones, ¿qué disposición supera a todas las demás?

Durante ochenta años, la respuesta parecía resuelta. Una cuadrícula. Papel cuadriculado, puntos en las intersecciones. Regular, denso, eficaz. Erdős había demostrado que con esa cuadrícula se podía alcanzar cierto número de parejas, y apostaba a que nadie lo mejoraría de forma significativa. Toda la disciplina lo seguía. Los mejores especialistas chocaron contra el problema durante décadas, y todos regresaban a las mismas cotas por caminos distintos, sin vislumbrar nunca una salida.

El mes pasado, un modelo de OpenAI demostró que se puede superar la cuadrícula. No por casualidad, en un caso particular. Mejor en general, con una construcción que se sostiene a medida que aumenta el número de puntos. Gowers, medallista Fields, dijo que, si un humano hubiera escrito esa demostración y la hubiera enviado a una revista, habría votado por publicarla sin dudar.

Por qué nadie lo había encontrado

Aquí la historia se vuelve interesante y deja de hablar de matemáticas para hablar de nosotros.

Imaginen que todo el mundo busca un tesoro en un campo. Llevan ochenta años excavando allí porque el tesoro está en el campo, es evidente. El modelo se fue a excavar al bosque de al lado. El tesoro estaba en el bosque.

El bosque tiene un nombre: teoría algebraica de números. Una región de las matemáticas que parece no tener relación alguna con puntos en una hoja. Nadie había buscado allí porque nada indicaba que hubiera que hacerlo.

Thomas Bloom, el matemático que mantiene actualizada la lista de problemas de Erdős, explicó qué habría tenido que reunir una sola persona para encontrar la solución. Cuatro cosas que nunca conviven. Dedicarle un tiempo desmesurado. Intentar demostrar que Erdős estaba equivocado cuando toda la profesión creía que tenía razón, es decir, remar a contracorriente durante meses. Tener la idea extravagante de buscar en el bosque. Y conocer lo bastante bien ese bosque lejano como para orientarse.

Una persona que reúna esas cuatro condiciones no existe. O, si existe, tiene cosas mejores que hacer con su carrera que apostar contra medio siglo de consenso. No sacrificas tres años de tu vida excavando en el bosque cuando todo el mundo te jura que el tesoro está en el campo. Es un mal cálculo, y los humanos somos animales que calculan.

La máquina no calcula así. No tiene carrera, ni ego que sangre, ni reputación que mantener ante sus colegas. Excavó en el bosque porque excava en todas partes, sin prejuicios sobre dónde debería estar el tesoro. Ignoraba que no se suponía que hubiera que buscar allí.

Lo que este descubrimiento daña

Estamos muy apegados a cierta historia del descubrimiento. El genio tiene una iluminación. Cae la manzana, Newton comprende. La mente superior percibe de golpe lo que los demás no supieron ver. Nos gusta esa historia porque convierte a la gran mente en una excepción de la naturaleza y a la intuición en una chispa que no se puede explicar ni reproducir.

Esta máquina viene a mellar el relato.

No tuvo una iluminación. No percibió la verdad de un relámpago. Hizo lo contrario. Exploró sin descanso caminos que habíamos descartado de antemano. Empujó la puerta que todos creían cerrada, por la única razón de que era una puerta y las prueba todas.

De ahí la pregunta que me persigue desde que leí esta historia. ¿Y si la intuición nunca hubiera tenido nada de mágico? ¿Y si el olfato del gran matemático no fuera también una exploración, simplemente más lejos y más rápida que la del vecino, pero de la misma naturaleza? Quizá inventamos la idea de un don para no mirar de frente una verdad más modesta. El genio no ve lo que los demás no ven. Excava un poco más antes de rendirse.

Miren lo que ocurrió aquí. El problema no resistió ochenta años porque fuera demasiado difícil para la mente humana. Resistió porque ningún cerebro podía, o quería, explorar tanto tiempo una dirección tan desalentadora. No era cuestión de talento. Era cuestión de paciencia y de duración de la vida. Morimos demasiado pronto. Nos cansamos. Necesitamos que nuestras apuestas den frutos antes del final. Tememos la humillación de equivocarnos ante los demás. La máquina no conoce ninguna de esas servidumbres. No se cansa, no muere a mitad de un cálculo, no siente vergüenza.

Lo que tomábamos por la nobleza de nuestra mente quizá solo era la sombra de nuestros límites.

Lo que me queda

No concluyo que la mente humana no valga nada. Concluyo que una de sus glorias, la intuición soberana, probablemente era una leyenda que contábamos sobre un trabajo paciente disfrazado de relámpago.

Me queda un consuelo, y no sé cuánto durará. La máquina exploró el bosque, pero un hombre le señaló el campo. Resolvió el problema, pero fue Erdős, medio siglo antes, quien consideró que ese problema merecía una vida y quinientos dólares. Elegir la pregunta, decidir que merece desgastarse en ella, eso todavía no ha caído en manos de las máquinas. Queda por saber si esa elección pertenece de verdad al gusto y al sentido, o si también es una exploración que aún no hemos terminado de mecanizar.

No tengo la respuesta. Solo creo que la pregunta merece algo más que encogerse de hombros. Porque cada vez que una máquina supera un peldaño, movemos el peldaño. Ayer fracasaba con ejercicios de secundaria, hoy refuta a Erdős, y algunos ya explican que eso no cuenta de verdad, que eso no es pensar. De tanto mover el listón, ya no sabemos dónde está. Es una forma elegante de no mirarnos nunca de frente.

Una demostración elegante sigue siendo elegante, nazca de un cerebro o de una tarjeta gráfica. A la verdad no le importa quién la encontró. A nosotros, sí. Y esa inquietud que sentimos al saber que la máquina excavó donde nuestro genio ni siquiera pensó en llevar la pala, creo que vale infinitamente más mirarla de frente que despacharla repitiendo que no era tan difícil.

Erdős habría pagado los quinientos dólares. Le habría parecido una historia estupenda, y el desvío a la biblioteca aún más divertido que el anterior.

Hasta la semana que viene…

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