Пятьсот долларов Пауля Эрдёша

Примерно в 1995 году восьмидесятидвухлетний старик решает поднять ставку. Задача, которую он поставил в 1946 году, не поддаётся уже полвека. Он обещал триста долларов тому, кто её решит. Теперь повышает награду до пятисот. Так он говорит простую вещь: я настолько уверен в своей правоте, что заплачу тому, кто докажет обратное.

Пауль Эрдёш умирает на следующий год. Денег никто не потребовал. Он уходит из жизни, убеждённый, что был прав.

Он ошибался. Мы знаем это с прошлого месяца. И доказал это не математик.

Человек, который платил за свои вопросы

Эрдёш — особенная фигура в истории науки. Венгр, родившийся в 1913 году, он прожил жизнь без дома, без постоянной должности, почти ничем не владея, ездил с чемоданом из университета в университет, ночевал у знакомых и жил только математикой. Он поставил почти полторы тысячи задач. За многие назначал денежную награду, и сумма говорила о сложности. Несколько долларов за посильную задачу, несколько сотен за те, что над ним насмехались.

Он действительно платил. Однажды, по дороге в какой-то город в Джорджии, коллега упоминает теорему, которую только что доказал. Эрдёш спрашивает, не назначал ли он за неё награду. Они заезжают в библиотеку проверить. Награда была: сто долларов. Эрдёш заплатил. Дороговата поездка на такси, заметили ему. Он очень смеялся.

У задачи за пятьсот долларов, о которой я говорю, суровое название: задача о единичных расстояниях. Но объяснить её можно за столом, на клочке бумаги.

Задача на одном листе

Поставьте точки на листе. Посчитайте пары точек, разделённые строго одинаковым расстоянием, скажем одним сантиметром.

Две точки — одна пара. Равносторонний треугольник — три пары. Вы добавляете точки и ищете лучшее расположение: то, которое даёт наибольшее число пар на расстоянии ровно одного сантиметра.

Вопрос Эрдёша умещается в одно предложение. Когда точек миллионы, какое расположение превосходит все остальные?

Восемьдесят лет ответ казался очевидным. Решётка. Бумага в клетку, точки на пересечениях. Регулярно, плотно, эффективно. Эрдёш доказал, что на такой решётке можно получить определённое число пар, и ставил на то, что существенно лучше не сделает никто. За ним шла вся область. Лучшие специалисты десятилетиями бились об эту задачу, и все разными путями возвращались к одним и тем же оценкам, не видя ни малейшего просвета.

В прошлом месяце модель OpenAI показала, что решётку можно превзойти. Не случайно, в отдельном примере. Лучше в общем случае, с конструкцией, которая работает по мере роста числа точек. Гауэрс, лауреат Филдсовской премии, сказал: если бы человек написал это доказательство и отправил в журнал, он без колебаний высказался бы за публикацию.

Почему никто не нашёл решения

Здесь история становится интересной и перестаёт быть историей о математике, превращаясь в историю о нас.

Представьте, что все ищут клад в поле. Восемьдесят лет копают поле, потому что клад в поле, это же очевидно. Модель пошла копать в соседний лес. Клад был в лесу.

У леса есть название: алгебраическая теория чисел. Область математики, которая, кажется, никак не связана с точками на листе. Никто там не искал, потому что ничто не указывало, что искать следует именно там.

Томас Блум, математик, поддерживающий список задач Эрдёша, объяснил, что должно было сойтись в одном человеке, чтобы найти ответ. Четыре вещи, которые никогда не встречаются вместе. Посвятить этому неразумно много времени. Пытаться доказать, что Эрдёш ошибался, когда всё сообщество считало его правым, то есть месяцами грести против течения. Додуматься до странной идеи заглянуть в лес. И достаточно хорошо знать этот далёкий лес, чтобы в нём ориентироваться.

Человека, отвечающего всем четырём условиям, не существует. А если существует, у него есть более полезные для карьеры занятия, чем ставить против полувекового консенсуса. Вы не пожертвуете тремя годами жизни, копая в лесу, когда все клянутся, что клад в поле. Это плохой расчёт, а люди — животные, которые рассчитывают.

Машина рассчитывает иначе. У неё нет карьеры, ранимого эго, репутации, которую надо поддерживать перед коллегами. Она копала в лесу, потому что копает везде, не имея предубеждений о том, где должен лежать клад. Она не знала, что там искать не положено.

Что разрушает это открытие

Мы очень привязаны к определённой истории об открытиях. Гения посещает озарение. Яблоко падает, Ньютон понимает. Выдающийся ум внезапно видит то, чего не смогли увидеть остальные. Мы любим эту историю, потому что она делает великий ум исключением природы, а интуицию — искрой, которую нельзя ни объяснить, ни воспроизвести.

Эта машина портит красивый рассказ.

У неё не было озарения. Истина не явилась ей во вспышке. Она сделала обратное. Без устали исследовала пути, которые мы заранее отвергли. Толкнула дверь, которую все считали закрытой, лишь потому, что это дверь, а она пробует каждую.

Отсюда вопрос, который преследует меня с тех пор, как я прочитал эту историю. А что, если в интуиции никогда не было ничего волшебного? Если чутьё великого математика — тоже лишь поиск, просто более далёкий и быстрый, чем у соседа, но той же природы? Возможно, мы придумали идею дара, чтобы не смотреть в лицо более скромной истине. Гений не видит того, чего не видят другие. Он чуть дольше копает, прежде чем сдаться.

Посмотрите, что здесь произошло. Задача не поддавалась восемьдесят лет не потому, что была слишком трудна для человеческого ума. Она не поддавалась потому, что ни один мозг не мог или не хотел так долго исследовать столь обескураживающее направление. Дело было не в таланте. Дело было в терпении и продолжительности жизни. Мы умираем слишком рано. Устаём. Нам нужно, чтобы наши ставки окупились до конца. Мы боимся унижения, когда ошибаемся на глазах у других. Машина не знает ни одной из этих зависимостей. Она не устаёт, не умирает посреди вычисления, не испытывает стыда.

То, что мы принимали за благородство нашего ума, возможно, было лишь тенью наших ограничений.

Что у меня остаётся

Я не делаю вывод, что человеческий ум ничего не стоит. Я делаю вывод, что одна из его славных черт, всевластная интуиция, вероятно, была легендой, которую мы рассказывали о терпеливом труде, переодетом во вспышку озарения.

У меня остаётся одно утешение, и я не знаю, надолго ли. Машина обыскала лес, но поле ей показал человек. Она решила задачу, но именно Эрдёш за полвека до этого счёл эту задачу достойной целой жизни и пятисот долларов. Выбрать вопрос, решить, что ради него стоит изнурять себя, — это пока не перешло в руки машин. Остаётся понять, действительно ли такой выбор относится ко вкусу и смыслу, или он тоже всего лишь поиск, который мы ещё не до конца механизировали.

У меня нет ответа. Мне лишь кажется, что вопрос заслуживает большего, чем пожатие плечами. Ведь каждый раз, когда машина преодолевает ступень, мы передвигаем эту ступень. Вчера она проваливала школьные упражнения, сегодня опровергает Эрдёша, а некоторые уже объясняют, что это не совсем считается, что это ещё не мышление. Мы столько раз сдвигали планку, что уже не знаем, где она. Изящный способ никогда не смотреть себе в лицо.

Изящное доказательство остаётся изящным, родилось ли оно в мозгу или на видеокарте. Истине всё равно, кто её нашёл. Нам — нет. И то смятение, которое мы испытываем, узнав, что машина копала там, куда наш гений даже не подумал отнести лопату, по-моему, бесконечно лучше встретить лицом к лицу, чем отмахнуться от него, повторяя, что это было не так уж трудно.

Эрдёш заплатил бы пятьсот долларов. Он счёл бы эту историю замечательной, а заезд в библиотеку — ещё смешнее предыдущего.

До следующей недели…

Better Call Ouss — это не питч, а настоящий разговор. Приходи таким, какой ты есть: посреди хаоса, с неясной идеей, буксующим бизнесом или уже запущенным проектом. Без позы, без фильтров. Мы смотрим вещам в лицо, выкладываем всё на стол и уходим с большей ясностью, большей энергией и часто с простым планом действий. Это не для тех, кто уже всё понял. Это для тех, кто хочет двигаться вперёд.

Записаться на разговор: Better Call Ouss!